Objetivo

El objetivo es obtener las expresiones de la Transformada de Fourier que permiten pasar de una señal en el dominio del tiempo x(t) a la señal en el dominio de la frecuencia X(ω) y viceversa.

\(F^{-1}\) es la Transformada Inversa de Fourier (anti-transformada).

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Expresiones buscadas

Las expresiones a las que que buscamos llegar son estas:

Anti transformada Transformada

Las fórmulas de la Transformada de Fourier (para señales no periódicas) se derivan de las fórmulas de la Serie de Fourier (para señales periódicas).

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1. Representar como señal no periódica creando pseudo señales repetidas

Dada una señal no periódica

Podemos construir una señal periódica \( \tilde{x}(t) \) que coincida con al señal de origen \(x(t)\) en un periodo \(T_0\) si la repetimos infinitamente hacia los lados positivo y negativo

A esta nueva señal periódica la podemos expresar como serie usando la formula de la serie de Fourier:

\[ \color{red}{\tilde{x}(t)} \color{black} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \]

Tambien podemos usar la formula de \(a_k\)

\[ a_k = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} \color{red}{\tilde{x}(t)} \color{black} e^{-j k \omega_0 t} \, dt \]

Si hacemos que \(T_0\) tienda a infinito

\(T_0 \to \infty\)

Todas las pseudo señales repetidas se amontonan hacia \(+\infty\) y \(-\infty\) haciendo que \(x(t)\) tienda a \(\tilde{x}(t)\)

\(x(t) \to \color{red}\tilde{x}(t)\)

2. Desarrollo algebráico

\[ {\tilde{x}(t)} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t} \]

\[ a_k = \frac{1}{T_0} \color{green}\int_{0}^{T_0} {\tilde{x}(t)} e^{-j k \omega_0 t} \, dt \]

Si resolvemos la integral de \(a_k\) obtenemos
\[ \color{purple}a_k = \color{black} \frac{1}{T_0} \color{green}X(k \omega_0) \]

A ese resultado lo reemplazamos en \({\tilde{x}(t)} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \color{purple} a_k \color{black} e^{j k \omega_0 t}\)

\[ {\tilde{x}(t)} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \color{purple} \frac{1}{T_0} X(k \omega_0) \color{black} e^{j k \omega_0 t} \]

\[ {\tilde{x}(t)} =\frac{1}{T_0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(k \omega_0) e^{j k \omega_0 t} \]

\(T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}\) entonces:

\[ T_0 \omega_0=2\pi
\] \[ \omega_0=\frac{2\pi}{T_0} \] \[ \frac{\omega_0}{\color{gray}2\pi} \color{black}=\frac{2 \pi}{T_0} \color{gray}\frac{1}{2\pi} \] \[ \color{purple}\frac{\omega_0}{2\pi}\color{black}=\frac{1}{T_0} \]

Reemplazamos en la formula de \(\tilde{x}(t)\)

\[ {\tilde{x}(t)} = \color{purple}\frac{\omega_0}{2\pi} \color{black} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(k \omega_0) e^{j k \omega_0 t} \]

Si hacemos que \(\omega_0\) tienda a \(0\) podemos representar esa sumatoria como una integral, siendo la forma de la integral: \[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\|P\|\to 0} \sum_{i=1}^n \color{orange}f(\xi_i)\color{purple}\Delta x_i \]

• Cada punto de la frecuencia: \(\xi_i = k \omega_0\)
• Valor de la función en ese punto: \(f(\xi_i) = X(k \omega_0) e^{j k \omega_0 t}\)
• Ancho del intervalo (equivalente a \(\Delta x_i\)): \(\Delta \omega = \omega_0\)

La sumatoria completa: \[ \tilde{x}(t) = \lim_{\omega_0 \to 0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \color{orange}X(k \omega_0) e^{j k \omega_0 t} \color{purple} \frac{\omega_0}{2\pi} \] \[ \tilde{x}(t) = \lim_{\omega_0 \to 0} \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \color{orange}X(k \omega_0) e^{j k \omega_0 t} \color{purple} \omega_0 \] \[ \tilde{x}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(k \omega_0) e^{j k \omega_0 t} \space d\omega_0 \] Dado que \(\Delta \omega \to 0\), reemplazamos las frecuencias discretas \(k \omega_0\) por la variable continua \(\omega\). \[ \boxed{ \tilde{x}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j \omega t} \space d\omega } \]

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Ahora bien, para la otra formula tenemos que : \[ \color{green}X(k \omega_0) = \int_{0}^{T_0} {\tilde{x}(t)} e^{-j k \omega_0 t} \, dt \] Dado que para \(t \in [0, T_0], \quad \tilde{x}(t) = x(t)\) podemos reemplazar \({\tilde{x}(t)}\) por \(x(t)\) \[ X(k \omega_0)= \int_{0}^{T_0} {x(t)} e^{-j k \omega_0 t} \, dt \] Y tenemos que tener en cuenta que como los límites de integración se extendieron a \(-\infty\) y \(+\infty\) los limites de integración son \(-\infty\) y \(+\infty\) porque la señal \(x(t)\) está contenida en un solo "periodo" infinito. \[ X(k \omega_0)= \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)} e^{-j k \omega_0 t} \, dt \] Dado que \(\Delta \omega \to 0\), reemplazamos las frecuencias discretas \(k \omega_0\) por la variable continua \(\omega\). \[ \boxed{ X(\omega)= \int_{-\infty}^{+\infty} {x(t)} e^{-j \omega t} \, dt } \]